Олимпиада «Сириус» по Математике 11 класс 3 группа задания и ответы, разбор

Задание 1.1. На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 16 минут (в 12:16). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Узнать ответ

Задание 1.2. На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 8 минут (в 12:08). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Узнать ответ

Задание 1.3. На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 12 минут (в 12:12). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Узнать ответ

Задание 1.4. На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 4 минуты (в 12:04). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Узнать ответ

Задание 2.1. Пусть (a₁, a₂, …, a₃₀) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 32: (3, 4, 5, …, 32). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₃₁(a₃₀)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Узнать ответ

Задание 2.2. Пусть (a₁, a₂, …, a₆₂) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 64: (3, 4, 5, …, 64). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₆₃(a₆₂)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Узнать ответ

Задание 2.3. Пусть (a₁, a₂, …, a₂₄) — некоторая перестановка целых чисел от 4 до 27: (4, 5, …, 27). Какие значения может принимать выражение log₃(a₁) · log₄(a₂) · … · log₂₆(a₂₄)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Узнать ответ

Задание 2.4. Пусть (a₁, a₂, …, a₁₄) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 16: (3, 4, 5, …, 16). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₁₅(a₁₄)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Узнать ответ

Задание 3.1. Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 13y²
Узнать ответ

Задание 3.2. Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 19y²
Узнать ответ

Задание 3.3. Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 11y²
Узнать ответ

Задание 3.4. Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?
x^x = 17y²
Узнать ответ

Задание 4.1. В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Узнать ответ

Задание 4.2. В кружке занимаются 10 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Узнать ответ

Задание 4.3. В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя, наоборот, категорически не хочет стоять рядом с Лёвой. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Узнать ответ

Задание 4.4. В кружке занимаются 10 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя, наоборот, категорически не хочет стоять с Лёвой. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.
Узнать ответ

Задание 5.1. В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если угол ABC = 76°? Ответ выразите в градусах.
Узнать ответ

Задание 5.2. В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если угол ABC = 62°? Ответ выразите в градусах.
Узнать ответ

Задание 5.3. В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если угол ABC = 74°? Ответ выразите в градусах.
Узнать ответ

Задание 5.4. В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если угол ABC = 66°? Ответ выразите в градусах.
Узнать ответ

Задание 6.1. По кругу стоят 22 дерева. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 21 дерево по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
Узнать ответ

Задание 6.2. По кругу стоят 26 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 25 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
Узнать ответ

Задание 6.3. По кругу стоят 14 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 13 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
Узнать ответ

Задание 6.4. По кругу стоят 18 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 17 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.
На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?
Узнать ответ

Задание 7.1. Вначале у Вани и Ани было по числу 35 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 36 (Аня) и 70 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
Узнать ответ

Задание 7.2. Вначале у Вани и Ани было по числу 25 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 26 (Аня) и 50 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
Узнать ответ

Задание 7.3. Вначале у Вани и Ани было по числу 28 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 29 (Аня) и 56 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
Узнать ответ

Задание 7.4. Вначале у Вани и Ани было по числу 32 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 33 (Аня) и 64 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.
Узнать ответ

Задание 8.1. В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0.1. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Узнать ответ

Задание 8.2. В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0.4. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Узнать ответ

Задание 8.3. В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0.2. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Узнать ответ

Задание 8.4. В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0.3. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Узнать ответ