Олимпиада «Сириус» по Математике 10 класс 3 группа задания и ответы, разбор

Задание 1.1. Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 748, 391, 562?
Узнать ответ

Задание 1.2. Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 819, 427, 653?
Узнать ответ

Задание 1.3. Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 347, 519, 826?
Узнать ответ

Задание 1.4. Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр можно получить следующие трёхзначные числа: 216, 735, 498?
Узнать ответ

Задание 2.1. Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(13b − 1).
Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?
Узнать ответ

Задание 2.2. Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(11b − 1).
Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?
Узнать ответ

Задание 2.3. Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(9b − 1).
Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?
Узнать ответ

Задание 2.4. Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(7b − 1).
Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?
Узнать ответ

Задание 3.1. На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 36 островитян. Их рассадили за три стола, по двенадцать человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди одиннадцати твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.
Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Узнать ответ

Задание 3.2. На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 24 островитянина. Их рассадили за три стола, по восемь человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди семи твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.
Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Узнать ответ

Задание 3.3. На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 42 островитянина. Их рассадили за три стола, по четырнадцать человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди тринадцати твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.
Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Узнать ответ

Задание 3.4. На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 30 островитян. Их рассадили за три стола, по десять человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди девяти твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.
Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.
Узнать ответ

Задание 4.1. Про функцию f известно, что для всех действительных x
2f(x + 6) + f(4) = x + 8.
Чему равно f(24)?
Узнать ответ

Задание 4.2. Про функцию f известно, что для всех действительных x
4f(x + 1) + f(3) = x + 8.
Чему равно f(11)?
Узнать ответ

Задание 4.3. Про функцию f известно, что для всех действительных x
3f(x + 2) + f(7) = x + 11.
Чему равно f(4)?
Узнать ответ

Задание 4.4. Про функцию f известно, что для всех действительных x
5f(x + 7) + f(2) = x + 11.
Чему равно f(67)?
Узнать ответ

Задание 5.1. Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {2, 5, 6, 7, 8}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?
Наименьшая степень:
Наибольшая степень:
Узнать ответ

Задание 5.2. Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {3, 4, 5, 6, 8}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?
Наименьшая степень:
Наибольшая степень:
Узнать ответ

Задание 5.3. Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {3, 4, 6, 7, 8}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?
Наименьшая степень:
Наибольшая степень:
Узнать ответ

Задание 5.4. Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {2, 3, 5, 6, 9}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?
Наименьшая степень:
Наибольшая степень:
Узнать ответ

Задание 6.1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол CAD = 2 · угол ADB, угол ACD = 5 · угол BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.
Узнать ответ

Задание 6.2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол CAD = 5 · угол ADB, угол ACD = 11 · угол BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.
Узнать ответ

Задание 6.3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол CAD = 4 · угол ADB, угол ACD = 9 · угол BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.
Узнать ответ

Задание 6.4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол CAD = 3 · угол ADB, угол ACD = 7 · угол BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.
Узнать ответ

Задание 7.1. Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника. В каждой грани бочонка с 12-угольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)?
Узнать ответ

Задание 7.2. Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника. В каждой грани бочонка с 8-угольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)?
Узнать ответ

Задание 7.3. Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника. В каждой грани бочонка с 14-угольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)?
Узнать ответ

Задание 7.4. Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника. В каждой грани бочонка с десятиугольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)?
Узнать ответ

Задание 8.1. У эксперта есть m монет весом 3 граммов, n монет весом 4 граммов и k монет весом 5 граммов. Все три числа m, n, k больше 0 и не больше 7. Судья это знает, ему также известны числа m, n и k, но он не знает, где какая монета, и видит только m + n + k неразличимых монет. Например, если m = 4, n = 6, k = 7, то судья видит 17 одинаковых монет и знает, что среди них ровно четыре весом 3 грамма, ровно шесть весом 4 грамма и ровно семь весом 5 граммов, но не знает, где какая монета. Эксперт смог, сделав только одно взвешивание на чашечных весах без гирь (на чашу весов помещается любое количество монет), однозначно продемонстрировать судье вес каждой из m + n + k монет. При каких m это возможно — т. е. для этого значения m существуют соответствующие условию n и k? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Если это невозможно, в ответ запишите 0.
Узнать ответ

Задание 8.2. У эксперта есть m монет весом 7 граммов, n монет весом 8 граммов и k монет весом 9 граммов. Все три числа m, n, k больше 0 и не больше 10. Судья это знает, ему также известны числа m, n и k, но он не знает, где какая монета, и видит только m + n + k неразличимых монет. Например, если m = 3, n = 6, k = 9, то судья видит 18 одинаковых монет и знает, что среди них ровно три весом 7 граммов, ровно шесть весом 8 граммов и ровно девять весом 9 граммов, но не знает, где какая монета. Эксперт смог, сделав только одно взвешивание на чашечных весах без гирь (на чашу весов помещается любое количество монет), однозначно продемонстрировать судье вес каждой из m + n + k монет. При каких m это возможно — т. е. для этого значения m существуют соответствующие условию n и k? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Если это невозможно, в ответ запишите 0.
Узнать ответ

Задание 8.3. У эксперта есть m монет весом 5 граммов, n монет весом 6 граммов и k монет весом 7 граммов. Все три числа m, n, k больше 0 и не больше 10. Судья это знает, ему также известны числа m, n и k, но он не знает, где какая монета, и видит только m + n + k неразличимых монет. Например, если m = 3, n = 6, k = 9, то судья видит 18 одинаковых монет и знает, что среди них ровно три весом 5 граммов, ровно шесть весом 6 граммов и ровно девять весом 7 граммов, но не знает, где какая монета. Эксперт смог, сделав только одно взвешивание на чашечных весах без гирь (на чашу весов помещается любое количество монет), однозначно продемонстрировать судье вес каждой из m + n + k монет. При каких m это возможно — т. е. для этого значения m существуют соответствующие условию n и k? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Если это невозможно, в ответ запишите 0.
Узнать ответ