Олимпиада «Сириус» по Математике 11 класс 4 группа задания, ответы, разбор

Задание 1.1. В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 16 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 8 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Узнать ответ

Задание 1.2. В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 11 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 13 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Узнать ответ

Задание 1.3. В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 14 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 10 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Узнать ответ

Задание 1.4. В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 17 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3.5, а если поставит 7 пятёрок, то средний балл повысится до 4.5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?
Узнать ответ

Задание 2.1. Решите в целых числах уравнение
x + 1/(y + 1/z) = 14/5.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Узнать ответ

Задание 2.2. Решите в целых числах уравнение
x + 1/(y + 1/z) = 17/6.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Узнать ответ

Задание 2.3. Решите в целых числах уравнение
x + 1/(y + 1/z) = 11/4.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Узнать ответ

Задание 2.4. Решите в целых числах уравнение
x + 1/(y + 1/z) = 8/3.
Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.
Узнать ответ

Задание 3.1. В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 45 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 4 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 17 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Узнать ответ

Задание 3.2. В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 42 минуты (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 3 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 12 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Узнать ответ

Задание 3.3. В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 20 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 18 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Узнать ответ

Задание 3.4. В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 48 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 15 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.
Узнать ответ

Задание 4.1. Сколькими способами отрезок длины 37 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Узнать ответ

Задание 4.2. Сколькими способами отрезок длины 49 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Узнать ответ

Задание 4.3. Сколькими способами отрезок длины 53 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Узнать ответ

Задание 4.4. Сколькими способами отрезок длины 43 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?
Узнать ответ

Задание 5.1. Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 31. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Узнать ответ

Задание 5.2. Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 30. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Узнать ответ

Задание 5.3. Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 29. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Замечание. Запись x̅y̅ обозначает двузначное число, в котором x — количество десятков, y — количество единиц.
Узнать ответ

Задание 5.4. Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 27. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?
Узнать ответ

Задание 6.1. Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 3, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 7/6. Найдите наименьший из этих восьми корней.
Узнать ответ

Задание 6.2. Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 4, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 13/12. Найдите наименьший из этих восьми корней.
Узнать ответ

Задание 6.3. Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 6, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 31/30. Найдите наименьший из этих восьми корней.
Узнать ответ

Задание 6.4. Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 5, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 21/20. Найдите наименьший из этих восьми корней.
Узнать ответ

Задание 7.1. Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 4. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 16, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 40.
Узнать ответ

Задание 7.2. Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 16. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 64, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 136.
Узнать ответ

Задание 7.3. Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 25. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 208.
Узнать ответ

Задание 7.4. Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 9. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 36, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 80.
Узнать ответ

Задание 8.1. Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 3a и 4a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Узнать ответ

Задание 8.2. Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 8a и 15a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Узнать ответ

Задание 8.3. Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 35a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Узнать ответ

Задание 8.4. Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 5a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.
Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?
Узнать ответ